Thứ Tư, 15 tháng 1, 2020

Khái niệm về ma trận trong toán học

I. Các định nghĩa về ma trận:
1. Định nghĩa 1.1:
Một ma trận A loại (cấp) m x n trên trường K (K – là trường thực R, hoặc phức C) là một bảng chữ nhật gồm m x n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau:
A = \left ( {\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array}} \right )
Trong đó a_{ij} \in K  là phần tử ở vị trí dòng i, cột j của A. Đôi khi A được viết ngắn gọn là A = (a_{ij})_{mxn}  hay (A)_{mxn}
Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C và tập hợp tất cả các ma trận loại m x n trên trường K được ký hiệu bởi Mm x n(K)
Ví dụ 1.1: A = \left( {\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array}} \right )  là ma trận cấp 2 x 3. B = \left( {\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array}} \right )  là ma trận cấp 3 x 2.
Ví dụ 1.2: Viết ma trận cấp 4 x 4 biết: a_{ij} = i^2 - j^2 , \forall i,j = 1, ... , 4
Nhận xét:
– Ma trận A có thể xác định trực tiếp bằng cách liệt kê các phần tử, cũng có thể được xác định theo công thức tổng quát.
– Ma trận không cấp m x n (ma trận zero), ký hiệu 0mxn là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0.
– Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên K được ký hiệu là Mn(K)
– Ma trận cấp 1 x n được gọi là ma trận hàng; ma trận cấp m x 1 được gọi là ma trận cột
– Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a11, a22, a33,…, ann được gọi là đường chéo chính của A.
2. Định nghĩa 1.2: Cho A = (a_{ij}) \in M_n(K)  . Khi đó:
– Nếu a_{ij} = 0 , \forall i \ne j  (nghĩa là tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận đường chéo.
– Ta thường dùng ký hiệu diag(a1, a2,…, an) để chỉ một ma trận đường chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo lần lượt là a1, a2, …, an
– Ma trận chéo có a_{ii} = 1 , \forall i  (nghĩa là các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1) được gọi là ma trận đơn vị. Ký hiệu: In
– Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng nhau được gọi là ma trận vô hướng.
– Nếu a_{ij} = 0 , \forall i > j  (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên dưới đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác trên.
– Nếu a_{ij} = 0 , \forall i < j  (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên trên đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác dưới.
– Ma trận tam giác trên hay tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác.
II. Các phép toán trên ma trận:
1. Định nghĩa 2.1 (hai ma trận bằng nhau):
Cho A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) \in M_{mxn}(K) .
Ta nói A = B khi và chỉ khi: a_{ij} = b_{ij} , \forall i, j
Ví dụ: Với A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \\ \end{array}} \right ) ; B = \left ( {\begin{array}{ccc} d & e & f \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array}} \right )  Thì A = B \leftrightarrow a = 4 , b = 5 , c = 6 , d = 1, e = 2, f = 3
Hai ma trận A = \left ( {\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}} \right ) ; B = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array}} \right )  không thể bằng nhau do không cùng cấp.
2. Định nghĩa 2.2 (Ma trận chuyển vị):
Cho A = (a_{ij}) \in M_{mxn}(K)  . Ta nói:
B = (b_{ij}) \in M_{mxn}(K)  là chuyển vị của A (ký hiệu B = AT) nếu:
a_{ij} = b_{ij} , \forall i, j
Ví dụ: Nếu A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{array}} \right )  thì {A^T} = \left ( {\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{array}} \right )
3. Tính chất 2.1:
Cho A, B \in M_{mxn}(K)  . Khi đó:
1. (A^T)^T = A
2. A^T = B^T \Leftrightarrow A = B
Ghi chú:
Cho A \in M_n(K)  . Khi đó, nếu AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng; nếu A= – A thì ta nói A là ma trận phản xứng.
Ví dụ: A = \left ( {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 0 \\ \end{array}} \right )  là ma trận đối xứng. B = \left ( {\begin{array}{ccc} 0 & 1 & {-2} \\ {-1} & 0 & 3 \\ 2 & {-3} & 0  \\ \end{array}} \right )  là ma trận phản xứng.
Nhận xét: Nếu B là ma trận phản xứng thì các phần tử trên đường chéo chính của B đều bằng 0.
4. Phép nhân một số với một ma trận:
Cho A \in M_{mxn}(K) , a \in K  Ta gọi tích a và A (ký hiệu aA) là một ma trận C = (c_{ij}) \in M_{mxn}(K)  được xác định bởi: c_{ij} = a.a_{ij}
– Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A.
5. Cộng hai ma trận:
Cho A, B \in M_{mxn}(K)
Ta gọi tổng của A và B (A + B) là một ma trận C = (c_{ij}) \in M_{mxn}(K)  được xác định bởi: c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
Tổng của A + (-B) được ký hiệu bởi A – B và gọi là hiệu của ma trận A và B.
6. Tính chất 2.2:
Cho A \in M_{mxn}(K) ; \alpha , \beta \in K  Ta có: (ab).A = a.(bA); (aA)T = a.(AT)
7. Ví dụ: Xác định các giá trị của x, y sao cho:
8. Định lý 2.1:
Cho A \in M_{mxn}(K) ; \alpha , \beta \in K  . Khi đó:
1.Tổng hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A
2.Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C
3.Tồn tại ma trận 0mxn sao cho: A + 0 = 0 + A = A
4. Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (- A) = (- A) + A = 0
5.Phép nhân vô hướng có tính phân phối: α(A+B) = αA + αB ;(α +β)A = αA + βA
6.Chuyển vị của tổng bằng tổng các chuyển vị:(A + B)T = AT + BT

0 nhận xét:

Đăng nhận xét